考研高等数学，考研高等数学考什么
你知道数列的上极限和下极限的一般求法吗？这个知识在高等数学中是相当冷门的，关注的人很少，知道的人也就不多，不过它基本数对高数研究是很重要的。
首先你要明确上极限和下极限的定义，这在老黄上一篇作品中有过详细的介绍，同时老黄还介绍了几个简单点列的上下极限的求法。但那样的求法并不具备普遍性，这里老黄要重新郑重地给大家分析点列的上下极限的一般求法。点列和数列在这里是等阶的，可以互相替换。
本文分成两个部分，前面部分是求上、下极限原理的分析和证明，很难！后面部分是方法的应用练习，比较容易。两部分要结合起来学习，才能真正掌握这个方面的知识和方法。
求数列{xn}的上极限和下极限的方法：
解：一般地，若p为自然数，且【不同的点列会对应不同的p，因此求上极限和下极限的关键，就是找到这个p，就是把点列分成p个子列，它们是交错的，每个子列都有一个极限，它们可能相等，也可能不等。举个例子，最常见的是把点列分成两个部分，即p=2, 比如{(-1)^n}, 那么就有两个子列{(-1)^(2k)}和{(-1)^(2k-1)}，它们各自的极限等于1，和-1，上极限就是1，下极限就是-1. 但不是所有数列对应的p都等于2，p也可能等于3，4…，一般也不会太大】
lim(k→∞)x_(kp)=A0, lim(k→∞)x_(kp-1)=A1, … lim(k→∞)x_(kp-p+1)=A_(p-1)存在, 则【老黄姑且称它们为p系列极限，p可以视为一个“周期”】
?ε>0，存在N>0，使当k>N时，Aj-ε下面证明所有极限的最小值A就是点列的下极限。】
设min{A0, A1, …, Ap-1}=A，则小于A+ε的xn有无限项.
若对某ε0，数列{xn}中小于A-ε0的xn有无限项，【这是否定A是下极限，再用反证法证明它不合理。从而形成下极限的充要条件】
设它们是x_(n1 ), x_(n2 ),…,x_(nj ),…, (n1
∵自然数集N有限子集：{kp k∈N},{kp-1 k∈N},…{kp-p+1 k∈N},【这些子集有p个】
且nj有无限个，∴以上p个子集中，必有一个(第j个)含有无限个nj，即【有限个“袋子”装无限多的“沙子”，至少有一个袋子要装下无限多沙子，设为第j个袋子】
n_(ji )=ki*p+j(i=1,2,…).走过路过不容错过，既然在nj中有无限多个点，那第j个子列经过时，肯定要留下无限个点，这些点构成的{x_(ki*p+j)}子列{x_(n_(ji))}就收敛于相同的极限Aj】
∴Aj≤A-ε0【反证成功，因此A符合下极限的充要条件，即小于A+ε的xn有无限项，而小于A+ε的xn有限项】
∴▁lim(n→∞)xn=min{A0, A1, …, Ap-1}. 同理lim ?(n→∞)xn=max{A0, A1, …, Ap-1}.
学以致用，下面我们来看两道练习题：
练习：求以下数列的上、下极限：
(1){2nsin(nπ/4)/(n+1)}；(2){n次根号( cos(nπ/3) }.
分析：关键是要确定p的大小。
(1)因为关于n的正弦函数sin(nπ/4)的周期是8，而n并不决定符号性质，因此可以取p=8.
(2)因为关于n的余弦函数cos(nπ/3)的周期是6，又绝对值的作用使 cos(nπ/3) 的周期变成3，因此可以取p=3. 下面尝试求各子列的极限。
解：(1)∵lim(k→∞)x_(8k-7)=lim(k→∞)x_(8k-5)=√2；
lim(k→∞)x_(8k-6)=2；
lim(k→∞)x_(8k-4)=lim(k→∞)x_(8k)=0；
lim(k→∞)x_(8k-3)=lim(k→∞)x_(8k-1)=-√2；
lim(k→∞)x_(8k-2)=-2；
∴▁lim(n→∞)xn=-2 ；∴lim ?(n→∞)xn=2.
(2)∵lim(k→∞)x_(3k-1)=lim(k→∞)x_(3k-2)=lim(k→∞)x_(3k)=1；
∴▁lim(n→∞)xn=(lim) ?(n→∞)xn=1.【即数列收敛于1】
瞧，应用求解很简单，但定理推导就非常难。很多人学高数只知其然，不知其所以然，定理直接来拿应用，用得好，就会觉得高数很简单，但其原理想要弄明白，却并不是一件简单的事。而原理弄不明白，是很多人无法在高数探究中更进一步的根本原因。
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